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Como calcular limites

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Como calcular limites

De uma maneira simples podemos definir “limite” como o valor que uma função toma quando a sua variável “x” se aproxima de um determinado valor “a” (diz-se que “x” tende para “a”, representa-se “x→a”), ou o valor que uma sucessão toma quando o seu “índice n” vai aumentando até ao “infinito” (diz-se que “n” tende para “infinito” e representa-se “n→∞”).

Representando uma função por “f(x)”, o seu limite quando “x→a”, representa-se da seguinte forma:
“lim f(x)”
x→a

Representando o termo geral de uma sucessão por “un”, o seu limite quando “n→∞”, representa-se da seguinte forma:
“lim un”
n→∞

No gráfico da função representado na figura, pode ver-se o andamento desta e a sua aproximação aos limites quando “x→0” e “x→±∞”

Instruções
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    DEFINIÇÕES

    FUNÇÃO
    Pode definir-se função como “uma relação” estabelecida entre dois conjuntos de um mesmo universo.
    Como exemplo, consideremos a relação “filhos dos mesmos pais”, que transforma um conjunto de pessoas em “irmãos”.
    Do ponto de vista matemático, uma função é uma “expressão matemática”, que transforma os elementos de um universo, ou de um conjunto contido nesse universo (o “domínio” da “função”) em elementos desse universo ou de qualquer conjunto nele contido (o “contradomínio da função”).
    Como universo utiliza-se habitualmente o conjunto dos “números reais”, que se designa por “R”, ou seja todos os números contidos no intervalo “]-∞,+∞[.
    Sendo “a” e “b” dois números reais, podemos definir como conjunto incluido no universo dos números reais, todos os números comprrendidos nos intervalos “[a,b]”, “[a,b[“, “]a,b]” ou “]a,b[“.
    Designando por “f(x)” uma função, onde "x" se designa por "variável" ou "argumento da função", apresentam-se os seguintes exemplos:

    “f(x) = x2”, onde o domínio é “R” e o contradomínio é “[0,+ ∞[“
    “f(x) = 1/x”, onde o domínio e o contradomínio são “]-∞,0[ e ]0,+∞[”
    “f(x) = √x, onde o domínio é “[0,+∞[” e o contradomínio é “R”

    SUCESSÕES

    Uma sucessão, também conhecida pelo termo “sequência”, pode ser definida como um caso particular das funções, em que o domínio é o conjunto dos “números naturais” (1, 2, 3, 4, ...), que se representa por “N”.
    Os elementos de uma sucessão são designados por “termos”
    Há sucessões bem conhecidas, como sejam:
    - A sucessão dos números pares: (2, 4, 6, 8, 10, ...).
    - A sucessão de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...), em que termo é a soma dos 2 termos anteriores.
    Um caso particular das sucessões são as progressões. Designando por “un” o termo geral de uma progressão, temos:
    - Progressão aritmética: “un – u(n-1) = r”, tomanto “r” o nome de razão.
    - Progressão geométrica: “un / (u(n-1)) = r, sendo “r” a razão.
    Exemplos de sucessões, “un” designa o termo geral:
    “un = n2 + 1”
    “un = 3n2 / (n+7)”

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    CONVENÇÕES

    O cálculo de limites pressupõe que se efectuem operações matemáticas com "0" e "∞", pelo que será necessário adotar as seguintes convenções, cosiderando "a" um número "real":

    - "∞ + ∞ = ∞"
    - "∞ * ∞ = ∞"
    - "0 * 0 = 0"
    - "a (expoente 0) = 1"
    - "a (expoente ∞) = ∞"
    - "0 (expoente a) = 0"
    - "∞ (expoente a) = ∞"
    - "1 (expoente a) = 1"

    Alguma operações podem apresentar resultados como os a seguir indicados:

    - "∞ - ∞"
    - "∞ / ∞"
    - "0 / 0"
    - "∞ / 0"
    - "∞ * 0"
    - "0 (expoente 0)"
    - "∞ (expoente 0)"
    - "1 (expoente ∞)"

    Estas operações não têm um resultado pré-determinado, pelo que têm de ser analisadas caso a caso. Recebem o nome de "indeterminações".

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    CÁLCULO DE LIMITES

    De uma forma geral, para calcular o limite de uma função quando “x→a”, ou de uma sucessão quando “n→a”, basta substituir o valor de "x" ou de "n" nas expressões que definem a função ou a sucessão, e calcular o respetivo valor.

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