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Como calcular potência

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Como calcular potência

Introdução: Potenciação em Matemática

Potências são um tópico em Matemática básica de nível primário e secundário, muito importante para os cálculos do dia a dia. Do mesmo modo que as 4 operações básicas, ao ensinarmos potência, temos de fazer o aluno não só “ler” o que se pede, como imaginar as multiplicações daí decorrentes e, ato reflexo, com o uso de uma máquina de calcular, se a operação for grande, chegar ao resultado esperado.

O trabalho com potências simplifica inúmeros cálculos e embasa operacionalmente tópicos como MDC -Máximo Divisor Comum – e mmc – mínimo múltiplo comum – entre outros, facilitando a resolução de problemas de Matemática, Álgebra e Física básicas, além de estar presente na parte operacional de diferentes ciências: Química, Computação, Biologia e tantas outras.

Normalmente, como um passo seguinte, ao ensinarmos potência, ensinamos também radiciação(√ ) que é também representada como um número elevado a uma fração (   = ). O ensino básico de potência é simplificado, embora em níveis mais elevados venha a ser aplicado a funções exponenciais, trigonométricas e números complexos, o que não é o caso deste pequeno estudo.

Existem algumas regras especiais sobre cálculo de potências que ensinamos – número elevado a 0, por exemplo – podendo ou não demonstrar o cálculo, dependendo do nível dos alunos. Até o nível fundamental, estas demonstrações são opcionais; em nível médio, dependendo da orientação pedagógica ou da percepção do professor (turmas que irão para áreas de exatas na universidade), estas demonstrações em Matemática são importantes.

Vamos aos passos clássicos do ensino de potências:

Dificuldade
Fácil
Instruções
  1. 1

    Passo 1 – Definição clássica e notação

    Potência de um número é o produto dos fatores iguais a este número, sendo sua notação a seguinte : an , sendo a - base - um número real qualquer e n - grau ou expoente da potência - um número natural, positivo que indica quantas vezes a base será multiplicada por si mesma. Exemplo:
    23 = 2 x 2 x 2 = 8
    Lê-se: “dois elevado a três”, onde
    2 = base;
    3 = expoente;
    8 = potência.

    Cálculos com expoentes positivos são simples:

    Expoente positivo
    22 = 2 x 2 = 4 (Lê-se “dois ao quadrado”);
    33 = 3 x 3 x 3 =27 (Lê-se “três ao cubo”)
    54 = 5.5.5.5 = 625 (Lê-se “cinco a quarta potência” )
    38 = 3.3.3.3.3.3.3.3 = 6.561 (Lê-se 3 a oitava potência”etc...
    Obs.: É interessante fazer o aluno “ler” diferentes potências para transformar a leitura e fala em ato reflexo. Do mesmo modo, é conveniente que o professor verifique o grau de proficiência dos alunos em cálculos simples – antiga tabuada – para que o aluno possa acompanhar com rapidez as aulas. Do mesmo modo, oriente o aluno no uso de máquinas de calcular simples ou virtuais.

  2. 2

    Casos especiais
    Caso 1:
    Número elevado a 1 – grau ou expoente normalmente não é escrito.
    21 = 2
    31 = 3
    56.7881 = 56.788
    a1 = a

    Caso 2 – Expoente 0
    Todo número elevado a zero é igual a 1.
    20 = 1
    30 = 1
    1.2350 = 1
    1/50 = 1
    253,5670 = 1
    a0 = 1
    etc...

    Algumas indeterminações:
    É importante observarmos as indeterminações abaixo. Em alguns casos não temos um resultado possível e imediato, são problemas matemáticos que resultam em contradições e só serão formalmente resolvidos no ciclo universitário, através de Cálculo. Observe:

    50 = 1
    mas 00 = resultado indeterminado
    01 = 0
    05 = 0.0.0.0.0 = 0
    mas ∞0 = resultado indeterminado
    11 = 1
    13 = 1
    167 = 1
    251 = 25
    mas 1∞ = resultado indeterminado.

    Caso 3 - Expoente negativo
    Todo número elevado a expoente negativo é igual a uma fração que tem para numerador a unidade e para denominador o próprio número com expoente negativo.

    a-1 = 1/a com a ≠ 0
    2-2 = 1/22 = 1/2x2 = 1/4
    3-5 = 1/3.3.3.3.3 = 1/243
    ½ -1 =1/½ = 2
    0 -3 = não podemos escrever 1/03 = 1/0

  3. 3

    Passo 3 – Operações com potência
    Caso 4
    Potências semelhantes
    Potências de bases quaisquer com os mesmos expoentes.
    23; 33; 53
    a2;b2;c2.


    Multiplicação de potências semelhantes.
    Multiplicam-se as bases e dá-se ao resultado o expoente comum.
    23 x 33 x 53 =(2 x 3 x 5)3 = 303 = 27.000

    Divisão de potências semelhantes.
    Dividem-se as bases e conserva=-se o expoente comum
    903 :33 = (90 : 3)3 = 303

    Caso 5
    Potências de mesma base.
    Bases iguais e expoentes diferentes

    Multiplicação de potências de mesma base.
    Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes:

    am . an = a m+n

    54 . 53 = 5 4 + 3 =57

    Divisão de potências de mesma base.
    Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes;

    am : an = a m-n (a ≠ 0)
    outra forma de representação (representação fracionária): am/an = a m-n (a ≠ 0)

    27 : 25 = 2 7-5 = 22

    Caso 6
    Potência de de fração ordinária
    Para se elevar uma fração ordinária a uma potência, eleva-se o numerador e o denominador à potência.
    (3/4)2 = 32/42 = 9/16

    Caso 7
    Potência de potência
    Para elevarmos uma potência a outra, conseva-se a base e multiplicam´se os expoentes.

    (53)2 = 5 3..2 = 56

    Caso 8
    Potência de produto
    Elevar cada fator à potência:

    (25.b2.c)2 = (2 5.2 .b2.2 .c1.2) = 210.b4.c2

    Caso 9
    Potência de nº decimal
    Para elevar um número decimal a uma potência, transforma-se o número decimal em fração decimal e e eleva-se cada termo da fração à potência.

    0,075 = (7/100)5 = 75/105

    Caso 10
    Potência de ordem superior
    Quando somente o expoente da potência está elevado a outro expoente.
    Tomamos o penúltimo expoente e o elevamos ao último; tomamos o antepenúltimo e o elevamos ao resultado obtido na primeira operação e, assim, sucessivamente.

    Podemos ter potências de:

    2ª ordem 5
    23 = 23.5 = 215

    2
    3ª ordem 5 5.2 10
    23 = 23 = 23 = 22.10 = 230

    4ª ordem, etc.

Dicas e AVISOS
  • Atenção: Sua ferramenta não está reproduzindo os expoentes das potências corretamente.
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