Como calcular x do vértice
Por GLG Contributor , December 21, 2011
Como calcular as coordenadas dos vértices de uma linha ou função no plano:
Os vértices de uma linha ou de uma função "f(x)", são os pontos do plano nos quais a função atinge os seus valores "mínimo" e "máximo".
Esses pontos são definidos por um par ordenado "(a;b)", que são as suas coordenadas cartesianas.
Na figura 1 representam-se os vértices de uma linha chamada "parábola".
Instruções
O que você precisará
- Máquina de calcular científica
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1
Sistema de Coordenadas
Consideremos no plano um sistema de eixos cartesianos XY, a partir dos quais se podem definir as coordenadas de qualquer ponto desse plano.
No eixo X representam-se as abcissas e no eixo Y as ordenadas.
Qualquer ponto P do plano pode assim ser definido por um par de coordenadas (a;b), como se mostra na figura 2.
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2
Máximos e mínimos de uma linha geométrica ou função
É condição necessária, mas não suficiente, para que uma função, ou uma linha geométrica, tenha um máximo e/ou um mínimo, que o seu gráfico no plano tenha um ramo "crescente" e um ramo "decrescente".
A função "f(x) = x3" não tem nem máximo nem mínimo (não tem vértices), uma vez que é sempre crescente.
Como exemplo de uma função que tem um ramo decrescente e um ramo crescente, e que não tem nem máximo nem mínimo é a "hipérbole" (ver figura 3), cuja expressão é a seguinte:
“a*x2 + b*x*y + c*y2 + d*x + e*y + f = 0” e “b2 > 4*a*c”.
O máximo e de mínimo de uma função "f(x)" são os pontos em que a função atinge os seus valores máximo e mínimo, respetivamente. São designados por "máximo absoluto" e "mínimo absoluto", e designam-se, respetivamente, por "M" e "m".
Uma linha ou uma função, cuja curva apresente vários troços crescentes e decrescentes, tem outros valores de máximo e de mínimo, com valores inferiores ou superiores aos valores absolutos.
Esses pontos de máximo ou mínimo são designados por "máximo relativo" e "mínimo relativo".
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3
Derivada de uma função
Define-se "derivada da função f(x)", e que se representa por " f'(x) = df(x)/dx", como a taxa de variação instantânea dessa função.
Formalmente, a derivada da função f(x), calculada no ponto x0, é definida pela seguinte expressão:
“f’(x0) = lim (f(x0+h) – f(x0)) / h”
(h→0)
Uma função diz-se "derivável" se, próximo de cada ponto "x0" do seu "domínio", a função "f(x) - f(x0)" tiver um comportamento "linear", isto é, se o gráfico dessa função for aproximadamente uma reta.
A inclinação da reta (ou "declive") é a dervida da função no ponto "x0".
Para funções derivaveis verificam-se as seguintes propriedades.
1) Uma função f(x) é constante se e só se a derivada for igual a "0" em todos os pontos.
Exemplo: "f(x) = 2"; 2f'(x) = 0"
2) Uma função f(x) é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a 0 em todos os pontos.
Exemplo: "f(x) = 2*x"; "f'(x) = 2"
3) Uma função f(x) é decrescente se e só se a derivada for menor ou igual a 0 em todos os pontos.
Exemplo: "f(x) = -5*x"; "f'(x) = -5"
Derivada de ordem "n"
Considerando a função f(x) e sendo "g(x) = f'(x)" a sua derivada, designa-se por segunda derivada de f(x) a função "h(x) = g'(x) = f''(x) = d2f(x)/dx2"
A terceira derivada de f(x) é a função "j(x) = h'(x) = f'''(x) = d3f(x)/x3"
E assim sucessivamente.
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4
Cálculo das coordenadas dos vértices de uma função
Consideremos uma função derivável f(x), cuja derivada é f'(x).
Para calcular os vértices de f(x), ou seja os valores máximo e mínimo, teremos que calcular os pontos que verificam a equação:
"f'(x) = 0"
Designando por "a" e "b" os valores de "x" que são a solução da referida equação, então os vértices da função são os pontos do plano cujas coordenadas são "(a;f(a))" e "(b;f(b))".
Se o valor de f'(a) ou f'(b) for positivo para "x
Caso o valor seja negativo para "x
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5
Exemplo
Consideremos uma parábola, cuja expressão é:
"f(x) = 2+x2 + 4"
A derivada de f(x) é.
"f'(x) = 4*x"
Fazendo "4*x = 0", resulta "x = 0".
Logo o vértice da parábola é o ponto com as seguintes coordenadas:
"x = 0" e "y = f(0) = 4"
Como para "x<0", "f'(x)<0" e para "x>0", "f'(x)>0", o ponto do plano (0,4) é um mínimo da parábola.
