Como calcular xi
O x do problema...mais que um problema matemático.
“...Ser estrela é bem fácil. Sair do Estácio é que é. O 'x' do problema...”
Gravada em 1931 por Noel Rosa e o bando dos Tangarás, há 80 anos, portanto, esta é uma incursão da Matemática na música popular brasileira e que perdura até hoje, gravada por grandes intérpretes. Pensarmos o “x do problema” ou como calcular x nos remete curiosamente ao cotidiano do Rio, especialmente ao bairro do Estácio, um bairro boêmio até os dias de hoje. Esta foto não desmente muito o bairro se comparamos o casario que ainda perdura em suas ladeiras.
Matemática tem destas coisas. Saber Matemática e Português em seus níveis básicos são até tradições dos letristas do Rio de Janeiro e Noel não era exceção. Mas a questão para nós é como calcular x...em Álgebra.
Afinal, que é x? É a incógnita de uma equação, uma letra que representa um valor desconhecido: o x do problema. Assim, resolver esta equação do 1° grau é determinar matematicamente seu valor, transformando-a de incógnita (o não-conhecido) em verdade...para aquela equação.
Como na vida, cada incógnita resolvida é a resolução de um único problema, está, portanto, referenciada ao universo do problema.
Vamos ao seu cálculo.
- Dificuldade
- Fácil
Instruções
O que você precisará
- Selecion ar listas de exercícios onde os alunos possam treinar algebrismos, adequações de problemas, uso de sinais, etc.
-
1
Simples. Qualquer criança se diverte.
Em Álgebra, definimos equação como uma igualdade entre duas expressões algébricas (reunião de letras, ou letras e números ligados por sinais de operação. Ex: 3x2 – 2x + 3 = 0 (2º grau)ou 8x + 5 = 45 (1° grau)). Calcular x é, portanto, elaborar alguns cálculos e saber seu valor.
Naturalmente o aluno já estudou a parte básica de expressões aritméticas, monômios, polinômios, operações algébricas (soma, subtração, multiplicação e divisão algébricas) entre monômios e entre monômios e polinômios, já trabalhou com produtos notáveis e agora deve iniciar em Álgebra o aprendizado de equações do primeiro grau e, a seguir, do segundo grau.
Quando pensamos em comparar duas expressões algébricas (3x + 21 = x + 7) ou uma expressão algébrica e um número ( 8x + 5 = 45), estaremos comparando as EAs (expressões algébricas) que são seus membros:
3x - 21 = x - 7
1° membro 2° membro
e calculando, em cada membro, através de operações chamadas algebrismos, o valor de x, reorganizando seus termos (monômios ou números isolados que compõem cada membro).
Assim:
3x - 21 = x - 7 =>
Transferimos x do 2° membro para o primeiro e mudamos o sinal e fizemos a mesma coisa com o número 21 do 1° membro para o segundo, também mudando o sinal. Temos então:
3x – x = 21 -7
Agora, vamos calcular:
2x = 14
Se 2x = 14, quanto valerá x?
x = 14/2 = 7
E, deste modo, chegamos ao resultado da incógnita x.
Isto, para começar. -
2
Por que chamamos a equação de equação do “1° grau”?
A equação é chamada do 1° grau porque o maior expoente da incógnita x é 1.
2x – 8 = 4
Se a equação for de 2° grau, o maior expoente da incógnita x será 2. Exemplo:
3x2 – 2x + 3 = 0
Viu? As coisas são simples.
A forma de uma equação do 1° grau.
Uma equação do 1° grau apresentará sempre a forma:
ax ± b = 0
2x – 2 = 0
3x + 6 = 0
etc.
Onde a e b são números conhecidos (dados do problema, a ≠ 0 ) e x a incógnita.
Como resolver:
Se transferirmos o número do 1° para o 2° membro, teremos:
2x – 2 = 0
2x = 2 (observe que mudamos o sinal)
resolvendo: x = 2/2 = 1
e
3x + 6 = 0
3x = - 6
resolvendo: x = -6/3 = -2
Como vimos no primeiro exemplo que resolvemos, na introdução, algumas vezes o problema se apresenta de uma forma um pouquinho mais complexa:
3x - 21 = x - 7
mas, transferindo todos os x para o primeiro membro e os números para o segundo, chegaremos a:
2x = 14
ax = b => x = b/a
x = 14/2 = 7 -
3
Discussão das equações de 1° grau
Toda equação do 1° grau tem a forma
ax ± b = 0
e se resolve numa equação do tipo ax = b, onde x = b/a
Deste modo, estas equações serão determinadas, isto é admitirão uma única solução para o valor da incógnita...em princípio. Para termos clareza sobre este ponto, convém analisarmos os possíveis valores de a e de b na equação ax ± b = 0.
Dois casos:
a) a ≠ 0 => teremos duas possibilidades:
1° caso: Se b ≠ 0, teremos x = b/a e um único valor para a incógnita.
2° caso: Se b = 0, teremos x = 0/a => x = 0 a equação terá a raiz nula, mas será, ainda assim, determinada.
b) a = 0 => teremos duas possibilidades:
1° caso: Se b ≠ 0, teremos x = b/0 e a equação será impossível, não terá solução.
2° caso: Se b = 0, teremos x = 0/0 => estamos diante de um símbolo de indeterminação, a equação será indeterminada.
Estas são as possibilidades resolução de uma equação do 1° grau. -
4
Igualdades e desigualdades: a extensão do problema...
Nem tudo é simples na vida, mas não é impossível de entender. Mesmo trabalhando equações do 1° grau, teremos de considerar e resolver a igualdade e, depois, considerar as desigualdades.
Considere as seguintes possibilidades entre A e B. Comparando, podemos ter:
A = B → A igual a B → igualdade (é simples, vimos no passo anterior).
Todas as demais, abaixo, são desigualdades.
A ≠ B → A diferente de B
A > B → A maior que B
A < B → A menor que B
A ≥ B → A maior ou igual a B
A ≤ B → A menor ou igual a B
O método de resolução de uma igualdade do 1° grau, já sabemos. Vamos usar o mesmo método para calcular o valor de x nas desigualdades, tendo cuidado com o sinal entre os membros. Observe:
3x – 3 ≥ 6
3x ≥ 6 + 3
3x ≥ 9
x ≥ 9/3
x ≥ 3
Deste modo, teremos uma infinidade de soluções. Estaremos no campo das inequações. A solução para a incógnita não será uma única e determinada solução, mas o problema terá uma infinidade de soluções possíveis a partir de um determinado critério: x ≥ 3.
